Question

一道数学题 求详解

到空间不共面的ABCD四点距离相等的平面个数是？

Answer 1

3点确定一个平面，所以4个点可以分为2组。一组是3个点，另一组是剩下的一个点。这时，寻找一个平面，这4点到这平面的距离相等。这个平面和3点组成的平面平行，距离是那剩下一点到这3点平面距离的一半。这就符合题意了。
这样的组合，可以找到4组。（每个点到另外3点组成平面距离的一半处，画一个平行于那3点的平面）。

2.
要找的平面每侧有2个点。
即2点组成一条线，找一个平面与这两条线平行，且在中间。
这样的组合，有3个（即一个点可以和另外3个点分别组成组合）。

所以1和2两种情况，共有7个解。

Answer 2

首先，一个点在此平面一侧，另外三个点在另一侧的情况有C(4,1)=4个

其次，两个点在一侧，另外两个点在另一侧的情况有，C(4,2)=6个，这里计算了双份，应该再除以2，即3

所以一共有3+4=7个

谢谢

Answer 3

10个
1、个点在此平面一侧，另外三个点在另一侧的情况：空间不共面的ABCD四点，可分别组成4个平面：ABC、ABD、BCD、ACD
与每个平面及剩余一点距离相等的平面只有1个
所以有4个
2、两个点在一侧，另外两个点在另一侧的情况，AB、AC、AD、BC、BD、CD，有6个
所以共有10个

Answer 4

10个

取3个点确定一个平面 4

取两个点构成两条异面直线 6

4+6=10

Answer 5

【解】七个

1）分别以A、B、C、D为顶点，其它三点作底面可作出四个不同的四面体，过四面体高的中点作平面平等于底面，则此平面即为到四点距离都相等的平面。
这样的平面有四个。

2）连接AB、CD，作这两条异面直线的公共垂线，过垂线段中点作一平面平行这两直线，此平面即为满足题目要求的平面。
过不共面的A、B、C、D四点可作出三组不同的异面直线组，所以这样的平面有三个。

综合1)、2)可知，满足题目要求的平面共有七个。