Question

已知x≥0，y≥0，x+3y=9则x^2y的最大值是多少

Answer 1

解法一：
x+3y=9
½x+½x+3y=9
由均值不等式得½x+½x+3y≥3³√[(½x)(½x)·3y]=3³√(3x²y/4)
当且仅当½x=3y时取等号，此时x=6，y=1
3³√(3x²y/4)≤9
³√(3x²y/4)≤3
3x²y/4≤27
x²y≤36
x²y的最大值是36
解法二：
x+3y=9，x=9-3y
x≥0，y≥0，则0≤y≤3
x²y=(9-3y)²y
=9(y³-6y²+9y)
令f(y)=9(y³-6y²+9y)
f'(y)=27((y²-4y+3)
令f'(y)≤0，得27((y²-4y+3)≤0
1≤y≤3
9(y³-6y²+9y)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减。
y=1时，9(y³-6y²+9y)取得最大值，x²y取得最大值
(x²y)max=9(1³-6·1²+9·1)=36
x²y的最大值是36
两种方法均可，结果是一样的。

Answer 2

设z=x+y，则y=-x+z．作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=-x+z，由平移可知当直线y=-x+z．经过点B时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由2x+3y−8＝03x+2y−7＝0，解得x＝1y＝2，即B（1，2），代入得z=1+2=3．故x+y最大值为3．故选C．