Question

一道关于不等式的数学题

已知a,b,c,d均为正数， a>c+d, b>c+d ,
求证， ab>ad+bc, ab>ac+bd

急啊，在线等，

Answer 1

已知a>c+d，b>c+d
则 a-c>d,b-d>c
且a、b、c、d均为正数
a-c>d>0
b-d>c>0
相乘(a-c)(b-d)>cd
展开ab-ad-bc+dc>dc
两边同减去cd
得 ab>ad+bc

已知a>c+d，b>c+d
则a-d>c,b-c>d
且a、b、c、d均为正数
a-d>c>0
b-c>d>0
相乘(a-d)(b-c)>cd
展开ab-ac-bd+dc>dc
两边同减去cd
得 ab>ac+bd

Answer 2

ab -ad == a(b-d) >ac >bc
ab-ac=a(b-c) >ad >bd

Answer 3

要证 ab>ad+bc，只要证 ab-ad-bc>0，即只要证 ab-ad-bc+cd>cd.
注意到
ab-ad-bc+cd
=a(b-d)-c(b-d)
=(a-c)(b-d) (a>c+d，b>c+d)
>d*c
=cd
即 ab-ad-bc+cd>cd，所以 ab>ad+bc.

第二个不等式完全类似，只要证 ab-ac-bd+cd>cd，亦即 (a-d)(b-c)>cd，与上面类似，这个也是明显的。