Question

（高一数学）已知函数f（x）=（1/2^x+1）-（1/2）.求......

Answer 1

（1）解：f(-x)=1/[2^(-x)+1]-1/2=(2^x)/(2^x+1)-1/2=(2^x+1-1)/(2^x+1)-1/2=1-1/(2^x+1)-1/2=1/2-1/(2^x+1)=-f(x)，又x在定义域上连续且关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数。

（2）证明：可知g(x)=xf(x)，g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)，则有g(x)=g(-x)可得g(x)在定义域上为偶函数(或f(x)为奇，x也为奇，奇乘奇为偶，则g(x)为偶函数）

当x>0时：f(x)=(1-2^x)/[2(2^x+1)]，2^x>1则f(x)<0，故g(x)=xf(x)<0

再根据偶函数的对称性质得x<0时有g(x)<0

综上所述：对于任何x不为0都有g(x)<0

Answer 2

（1）f(-x)=1/(2^-x+1)+1/2=2^x/(1+2^)+1/2=1-1/(1+2^x)+1/2=1/2-1/(1+2^x)=-f(x)

所以为奇函数

（2）当x<0时2^x<1所以
>0,,因而g(x）<0

当x>0时2^x>1所以
<0,因而g(x)<0

当x=0时g(x)=0.
即证
对于任何
x≠0，都有
g（x）＜0