Question

高中数学题目解答 已知函数f(x)=|x²-1|+x²-kx (1)当k=2时，求函数f(x)的单调

高中数学题目解答
已知函数f(x)=|x²-1|+x²-kx
(1)当k=2时，求函数f(x)的单调区间
(2)若f(x)≥0恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

f(x)=1-kx |x|≤1
f(x)=2x²-kx-1 |x|≥1
(即开口向上的抛物线中-1≤x≤1段由直线取代）
(1)f(x)=1-2x |x|≤1
f(x)=2x²-2x-1 |x|≥1
=2(x-½)²-3/2 对称轴x=½
∴x<-1位于对称轴左侧 f(x)单调递减
-1≤x<1 斜率<0 f(x)单调递减
x>1位于对称轴右侧 f(x)单调递增
即单调递增区间x∈(1,+∞),单调递减区间x∈(-∞,1)
(2)|k|>4时，抛物线对称轴在区间[-1,1]外，存在顶点，最小值=-1-k²/4<0 不成立
|k|≤4时，最小值为直线1-kx的端点值=1-|k|
∴f(x)≥0恒成立，即1-|k|≥0
∴实数k的取值范围k∈[-1,1]