Question

求幂级数的和函数。

Answer 1

设f(x)=∑nx^n=x∑nx^(n-1)
记g(x)=f(x)/x=∑nx^(n-1)
积分得：G(x)=∑x^n=x/(1-x)
求导得：g(x)=1/(1-x)²
故f(x)=xg(x)=x/(1-x)²

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Answer 2

令S(x)=∑(n=1->∞) nx^n
S(x)/x=∑(n=1->∞) nx^(n-1)=∑(n=0->∞) (n+1)x^n
S(x)/x-S(x)=1+∑(n=1->∞) x^n=1+x/(1-x)=1/(1-x)
S(x)=x/(1-x)^2
收敛域为x∈(-1,1)

Answer 3

∑nx^n=x∑nx^(n-1)
=x∑(x^n)'=x(∑x^n)'
=x[x/(1-x)]'=x(1-x+x)/(1-x)²
=x/(1-x)² x∈(-1，1)

Answer 4