Question

lim(x趋向去0)(x平方-sinx的平方)/(x的4次方)

Answer 1

x趋于0的时候，
x等价于sinx，所以x-sinx趋于0，
那么分子分母都趋于0，满足洛必达法则使用的条件，
对分子分母同时求导
所以
原极限
=lim(x->0)
(x-sinx)'
/
(x^3)'
=lim(x->0)
(1-cosx)
/
3x^2
而1-cosx等价于0.5x^2
=lim(x->0)
0.5x^2
/3x^2
=
1/6
或者使用泰勒展开，
sinx=x-x^3/3!+o(x^3)
那么
原极限
=lim(x->0)
(x-x+x^3/3!)
/
x^3
=lim(x->0)
(x^3/6)
/x^3
=1/6

Answer 2

结论：x→0
时，sinx＝x
最好是将原式化到最后再代入用
lin(x²－sin²x)／x^4
(0／0型，有罗比达法则)
＝lim(x²－sin²x)'／(x^4)'
＝lim(2x－2sinxcosx)／4x³
＝lim(x－sinxcosx)／2x³
(0／0型，有罗比达法则)
＝lim(1－cos²x＋sin²x)／6x²
＝lim2sin²x／6x²
＝limsin²x／3x²
＝x²／3x²
＝1／3