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设f(x)=ax^3+bx+c (a,b,c是实数),当0≤x≤1时,0≤f(x)≤1.求b的最大可
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因为f'(x)=3ax^2+b ,0≤x≤1
所以0≤x^2≤1,b≤f'(x)≤3a+b....(1)
若b>=0,则f'(x)>=0,f(x)为增函数,
于是由0≤x≤1得
f(0)≤f(x)≤f(1)即c≤f(x)≤a+b+c
所以c=0,a+b+c=1==》a+b=1
由(1)得
3a>=0所以a>=0即1-b>=0即b≤1
所以此时b最大值是1;
若b<0,由f'(x)=0得
3ax^2+b=0即
3ax^2=-b
若a=0,则b=0
若a<0,则x无解
若a>0,则
x^2=-b/(3a)
又0≤x≤1
所以x=√
(-b/(3a))
f(x)在[0,√-b/(3a)]上单调递减,在[√-b/(3a),+
∞)单调递增;
当√-b/(3a)>1即b<-3a时,f(x)在[0,1]单调递减,
所以f(x)在[0,1]上最大值为f(0)=c=1,最小值f(1)=a+b+c=0从而c=1,a+b=0,b=-a(与b<-3a矛盾)
当√-b/(3a)<1即b>-3a时,f(x)在[0,1]的最大值只能在端点取得,最小值在x=√-b/(3a)取得,即
f(√-b/(3a))=0即而f(0)=c,f(1)=a+b+c,
所以0≤x^2≤1,b≤f'(x)≤3a+b....(1)
若b>=0,则f'(x)>=0,f(x)为增函数,
于是由0≤x≤1得
f(0)≤f(x)≤f(1)即c≤f(x)≤a+b+c
所以c=0,a+b+c=1==》a+b=1
由(1)得
3a>=0所以a>=0即1-b>=0即b≤1
所以此时b最大值是1;
若b<0,由f'(x)=0得
3ax^2+b=0即
3ax^2=-b
若a=0,则b=0
若a<0,则x无解
若a>0,则
x^2=-b/(3a)
又0≤x≤1
所以x=√
(-b/(3a))
f(x)在[0,√-b/(3a)]上单调递减,在[√-b/(3a),+
∞)单调递增;
当√-b/(3a)>1即b<-3a时,f(x)在[0,1]单调递减,
所以f(x)在[0,1]上最大值为f(0)=c=1,最小值f(1)=a+b+c=0从而c=1,a+b=0,b=-a(与b<-3a矛盾)
当√-b/(3a)<1即b>-3a时,f(x)在[0,1]的最大值只能在端点取得,最小值在x=√-b/(3a)取得,即
f(√-b/(3a))=0即而f(0)=c,f(1)=a+b+c,
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