已知a,b,c都是正数,求证：a³+b³+c³≥3abc.
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a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
∵a²+b²≥2ab ∴a²-ab+b²>ab ∴a³+b³≥(a+b)ab=a²b+b²a
同理 b³+c³≥b²c+c²b,c³+a³=a²c+c²a
把三个等式左右分别相加得2（a³+b³+c³)≥a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b=b(a²+c²)+c(a²+b²)+a(b²+c²)≥b×2ac+c×2ab+a×2bc=6abc
∴a³+b³+c³≥3abc.
∵a²+b²≥2ab ∴a²-ab+b²>ab ∴a³+b³≥(a+b)ab=a²b+b²a
同理 b³+c³≥b²c+c²b,c³+a³=a²c+c²a
把三个等式左右分别相加得2（a³+b³+c³)≥a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b=b(a²+c²)+c(a²+b²)+a(b²+c²)≥b×2ac+c×2ab+a×2bc=6abc
∴a³+b³+c³≥3abc.
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