Question

求和k^n*cnk*(-1)^k=

{(nx-k)^2*Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)}k=0到n的求和=nx(1-x)
怎么证明?注：^的后面代表指数

Answer 1

这道题有相当的难度
首先,注意到：Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)代表的是（x+1-x）^n展开后x次数为k的项
故对Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)从k=0到n结果就是（x+1-x）^n,也就是1
理解了这里,我们将（nx-k）^2展开,得(nx)^2-2nxk+k^2
先对（nx)^2*Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)求和,就等于（nx）^2
再对-2nxkCnk*x^k*(1-x)^(n-k)求和,这里用到：k*Cnk=n*C(n-1)(k-1)（这里不太好表示,此式子在排列组合中非常重要）
可得-2n^2xkCnk*x^k*(1-x)^(n-k)=-2n^2xC(n-1)(k-1）*x^k*(n-k)
提出个x,得-2n^2x^2C（n-1）k*x^（k-1）*(1-x)^(n-k),和刚开始的形式是一样的,只是n变成了n-1,故-2nxkCnk*x^k*(1-x)^(n-k)对k求和结果为
-2(nx)^2
最后,对k^2*Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)求和,同样利用k*Cnk=n*C(n-1)(k-1)
该式变为n*k*C(n-1)(k-1）*x^k*(n-k)再做一个小变换
得到n(k-1)C(n-1)(k-1)x^k*(1-x)^(n-k)+n*C(n-1)(k-1)x^k*(1-x)^(n-k)
接着用(k-1)C(n-1)(k-1）=(n-1)C(n-2)(k-2)
该式化为：n*(n-1)C(n-2)(k-2)x^k*(1-x)^(n-k)+n*C(n-1)(k-1)x^k*(1-x)^(n-k)=n(n-1)x^2*C(n-2)(k-2)x^(k-2)*(1-x)^(n-k)+nx*C（n-1)(k-1)x^(k-1)(1-x)^(n-k)
对上式求和得(n^2-n)x^2+nx
故{(nx-k)^2*Cnk*x^k*(1-x)^(n-k)}k=0到n的求和结果为：
n^2x^2-2n^2x^2+(n^2-n)x^2+nx=nx-nx^2=nx(1-x)
证毕
累死我了!楼主