Question

lnx的平方的不定积分是什么？

Answer 1

lnx的平方的不定积分：

令lnx=t，x=e^t

∫lnx²dx

=∫2lnxdx

=2∫lnxdx

=2∫xlnxdlnx

=2∫(e^t)·tdt

=2∫td(e^t)

=2[(e^t)·t-∫(e^t)dt]

=2[(e^t)·t-(e^t)]+C

=2(e^t)·(t-1)+C

=2x(lnx-1)+C

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。

即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。