Question

对坐标的曲线积分

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Answer 1

1、曲线积分和曲面积分都分为两类：对弧长（面积）的积分；对坐标的积分。个人理解中，可以把第一类与标量挂钩，第二类与向量挂钩。
2、第一类的应用如：计算线密度为变量的某曲线形元件的质量；计算面密度为变量的某曲（如：非均匀外壳）的质量。这里的密度（被积函数）便是标量。

3、第二类的应用如：计算变力沿曲线做功；计算某速度下通过某曲面的流量。这里的力和速度（被积函数）便是向量。两类曲线积分之间，以及两类曲面积分之间是有联系的。
4、格林公式描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。斯托克斯公式是格林公式的推广，描述了曲面上的曲面积分与其边界曲线的（第二类）曲线积分之间的关系。
5、从格林公式和斯托克斯公式出发，需要理解环流量和旋度。高斯公式描述了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的（第二类）曲面积分之间的关系。从高斯公式（以及格林公式）出发，需要理解通量和散度。