Question

急，数学，证明不等式

求证a＞0,b＞0,c＞0,a+b+c=1求证ab+bc+ac≤1/3

Answer 1

证明：显然(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0，

展开，整理得a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca（这其实是一个很常见的结论，要熟悉！）

于是(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)

又a+b+c=1，代入上式可得1≥3(ab+bc+ca)

故：ab+bc+ac≤1/3 ，当且仅当a=b=c时等号成立，证毕！

PS. a＞0,b＞0,c＞0的条件是多余的！

Answer 2

如图