Question

请用二项式定理证明 (n+1)的n次方-1能被n^2整除

Answer 1

(n+1)的n次方-1
=n^n+Cn(1)n^(n-1)+Cn(2)n^(n-2)+-----+Cn(n-1)n²+1-1
=n^n+Cn(1)n^(n-1)+Cn(2)n^(n-2)+-----+Cn(n-1)n²
显然上式各项均可被n^2整除
所以,(n+1)的n次方-1能被n^2整除

Answer 2

(n+1)^n-1=n^n+...+C n³+C n²+1-1（C 表示组合数）
=n^n+...+C n³+C n²
∴（(n+1)^n-1）/n²=n^(n-2)+...+C n+C 为整数
∴(n+1)的n次方-1能被n^2整除