Question

用二项式定理证明（n+1）的n次方-1能被n的平方整除

Answer 1

用二项式定理展开得，(n+1)^n - 1 = n^n * 1 + C(n-1,n) * n^(n-1) + C(n-2,n) * n^(n-2) + .... + C(2,n) * n^2 + c(1,n) * n + 1 - 1
注意到从n^n * 1到C(2,n)*n^2都可以被n^2整除，同时c(1,n) * n = n * n = n^2也能被n^2整除
所以(n+1)^n -1能被n的平方整除

Answer 2

证明:用二项式定理展开有：
（n+1）的n次方-1=(1+n²+....n^n)-1=n²+....n^n=n²(1+....n^n-2)
所以n+1）的n次方-1能被n的平方整除 。

Answer 3

（n+1）^n=
nC0*n^n+nC1*n^(n-1)+……+nC(n-2)*n^2
+nC(n-1)*n+nCn*n前面的直到倒数第三项都有n^2这个因式，能被n^2整除，所以只要看最后两项
又因为最后两项之和=n*n+1
所以（n+1）^n-1=n^2
又能被n^2整除，所以整个式子就能被n^2整除