Question

高中数学一道大题高分求解！

已知两个命题r(x)：sinx+cosx>m, s(x)：x²+mx+1>0,如果对任意x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围。

要详细过程 在线等

Answer 1

如果s（x）为真命题
则m²-4<0
=> -2<m<2
所有x属于R,r（x）为假命题
则sinx+cosx>m无满足题意的x
=> √2sin(x+π/4)>m
=>2≤m对于所有x属于R，r（x）为假命题
综上则√2≤m<2

如果r（x）是真命题，那么m<=-√2，x²+mx+1>0为假
针对s（x）△=m²-4 >=0
所以m<=-2
综上√2≤m<2 或者 m<=-2

Answer 2

当r(x)为真， s(x)为假时：
sinx+cosx=√2sin(x+∏/4)
要使sinx+cosx>m恒成立，m<-√2
此时x²+mx+1>0对x∈R不是恒成立
m^2-4>=0 解得m>=2或m<=-2
所以 m<=-2

当r(x)为假， s(x)为真时：
sinx+cosx>m不是恒成立，得 m>=-√2
x²+mx+1>0对x∈R恒成立, 得-2<m<2
所以 -√2<=m<2

综上得：m<=-2或-√2<=m<2