Question

设实数a不等于0,且函数f(x)=a(x^2+1)-(2x+1/a)有最小值-1

1）求a的值
2）设数列{an}的前n项和Sn=f(n),令bn=a2+a4+...+a2n,证明{bn}是等差数列
要详细过程，谢谢

Answer 1

解：
1）f(x)=ax^2 -2x +a-1/a
因为存在最小值 ，所以f（x)开口必须是向上的
所以 a＞0
原函数的对称轴是
x = 1/a
代入得f（x)得：
1/a -2/a + a -1/a = -1
a - 2/a=-1
a^2+a-2=0
(a+2)(a-1)=0
因为a＞0
所以a = 1

2）Sn=f(n)=(n^2+1)-(2n+1)=n^2-2n
an=S(n)-S(n-1)=n^2-2n-(n-1)^2+2(n-1)=2n-3
bn=[a2+a4+...+a(2n)]/n
=[(4-3)+(8-3)+……+(4n-3)]/n
=[(1/2)(4+4n)n-3n]/n
=2n-1
b1=1, bn-b(n-1)=2n-1-2(n-1)+1=2=d（公差）
所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.

Answer 2

(1)
f(x)
=a(x²+1)-(2x+1/a)
=a(x-1/a)²+(a-2/a)
a-2/a=-1
a>0
a=1

(2)
Sn=n²-2n
an=(n²-2n)-[(n-1)²-2(n-1)]=2n-3
bn=2(2+4+...+2n)-3n=2n(n+1)-3n=2n²-n