Question

已知函数f(x)=a^x+a^(-x),(a>0,a≠1）若f(1)=5/2。试判断函数在（0，正无穷大）上的单调性。

请大家写一下过程

Answer 1

f(1)=5/2,
a+1/a=5/2 2a²-5a+2=0 a=2或1/2.
∴f(x)=2^x+2^(-x),
任取正数x1,x2,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)= 2^(x1)+2^(-x1)- 2^(x2)-2^(-x2) = 2^(x1) - 2^(x2)+2^(-x1) -2^(-x2)
= 2^(x1) - 2^(x2)+( 2^(x2)- 2^(x1))/(2^(x1+x2))
=(2^(x1) - 2^(x2))(1-1/(2^(x1+x2))
=(2^(x1) - 2^(x2))( 2^(x1+x2)-1)/ (2^(x1+x2))
∵0<x1<x2 ∴2^(x1)< 2^(x2), 2^(x1+x2)>1,
∴(2^(x1) - 2^(x2))( 2^(x1+x2)-1)/ (2^(x1+x2))<0
f(x1)<f(x2) 所以函数在（0，+∞）上是增函数。

Answer 2

任取正数m,m,且m>n,
f(m)-f(n)=a&supm +a&sup-m