Question

求函数y=√1+x2+x+1 的值域

Answer 1

楼主，题目应该有括号吧?

①y=√(1+x²)+x+1，则
设x=tanθ，故
y=secθ+tanθ+1
即(y-1)cosθ-sinθ=1
构造向量
m=(y-1,-1)，n=(cosθ,sinθ)
则依向量模不等式|m|·|n|≥|m·n|得
[(y-1)²+(-1)²][cos²θ+sin²θ]≥[(y-1)cosθ-sinθ]²=1
∴(y-1)²≥0，实数范围内恒成立
即y∈R

②y=√(1+x²+x)+1，则
y=√[(ⅹ+1/2)²+3/4]+1
∴y≥√(3/4)+1=(2+√3)/2
故函数值域为
[(2+√3)/2，+∞)。