Question

若a,b属于正实数,a+b=1,证明ax²+by²≥(ax+by）²

若a,b属于正实数,a+b=1,证明ax²+by²≥(ax+by）²

Answer 1

ax²+by²-(ax+by）²
=(a-a²) x²+(b-b²)y²-2abxy
∵a+b=1
∴a=1-b
∴(a-a²) x²+(b-b²)y²-2abxy
=(b-b²)x²+(b-b²)y²-2(b-b²)xy
=(b-b²)(x-y)²
=ab(x-y)²
∵a＞0,b＞0
∴ab＞0
∴ab(x-y)²≥0
∴ax²+by²-(ax+by）² ≥0
∴ax²+by²≥(ax+by）²

Answer 2

证明：∵a,b＞0,且a+b=1.∴由柯西不等式可知，ax²+by²=(a+b)(ax²+by²)≥(ax+by)².即ax²+by²≥(ax+by)².等号仅当x=y时取得。