Question

已知y=arctanx, 求证: (1+x^2)y^(n+1)+2nxy^(n)+n(n-1)y^(n-1)=0. 并求y(2k)(0), y(2k+1)(0).

Answer 1

y'=2arcsinx/√(1-x²)
(1-x²)y'=2arcsinx=2√y
即
(1-x²)y'²=4y
两边取n阶导数,
并用n阶导数的莱布尼茨公式可得结论

Answer 2

解：分享一种解法。
∵n→∞时，lim(n→∞)arctan[1/(n^2+n+1)]=0，由级数收敛的必要条件，得∑arctan[1/(n^2+n+1)]收敛。
设n+1=tanα，n=tanβ，则α-β=arctan(n+1)-arctann。
又，tan(α-β)=[(n+1)-n]/[1+n(n+1)]=1/(n^2+n+1)，
∴arctan[1/(n^2+n+1)]=arctan(n+1)-arctann，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=∑(arctan(n+1)-arctann)=lim(n→∞)[arctan(n+1)-arctan1]，
∴∑arctan[1/(n^2+n+1)]=π/2-π/4=π/4。供参考。