Question

初三数学题，在线急求，请赶紧帮忙

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线，交AC与P,交AB于Q。（1）求四边形AQMP的周长
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）
（3）当M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由。

Answer 1

(1)因为AB=AC，所以∠B=∠C
因为PM‖AB,QM‖AC
所以∠PMC=∠B,∠QMB=∠C（两直线平行，同位角相等）
所以∠PMC=∠B=∠QMB=∠C
所以QM=QB,PM=PC（等角对等边）
四边形AQMP的周长=AQ+QM+PM+AP=AQ+QB+PC+AP=AB=AC=a+a=2a
(2)△APQ∽△MQP；△BQM∽△MPC
（3）要使四边形AQMP为菱形，则需AQ=QM=PM=AP
因为QM=QB,PM=PC（已证），QM=PM
所以QB=PM=QM=PC
又因为∠PMC=∠B,∠QMB=∠C
所以△BQM≌△MPC（AAS）
所以BM=MC
当M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形

Answer 2

（1）QM=QB,PM=PC,故四边形AQMP的周长=AB+AC=2a;
(2)三角形BQM与三角形ABC，三角形BQM与三角形PMC;
(3)M位于中点时即可，因为此时AP=PC=PM，四边形AQMP为一组邻边相等的平行四边形，故为菱形。

Answer 3

（1）MQ平行于AC
角BMQ=角C=角B
QM=QB
同理MP=PC
所以周长为2a.
（2）三角形BMQ相似于三角形ABC，三角形PMC相似于三角形ABC，三角形BMQ相似于三角形PMC.
（3）M为BC中点时。
此时MP、MQ为三角形的中位线
MP=1/2AB,MQ=1/2AC
又AB=AC
四边相等为菱形