Question

求证明关于定积分的不等式

Answer 1

这题我怀疑你的结论刚好写反了，应该是∫..x/sinxdx>=π/4 ，请你再看看题目

1<π/2，所以sinx在(0,1)恒大于0
然后就是思路问题，注意到arctan(1)=π/4，arctan(0)=0，而arctanx的导数为1/(1+x^2)
如果能够证明在(0,1)内x/sinx>=1/(1+x^2)，那么根据定积分的性质就可以证出来了
x/sinx>=1/(1+x^2)这个式子不太好证，根据sinx>0以及1+x^2>0转成求证x(1+x^2)<=sinx即x+x^3-sinx>=0
构造F(x)=x+x^3-sinx，那么F'(x)=1+3x^2-cosx=(1-cosx)+3x^2>=0
所以在(0,1)内恒有F(x)>=F(0)=0
所以在(0,1)内x/sinx>=1/(1+x^2)

于是∫..x/sinxdx>=∫..1/(x^+1)dx=arctan(1)-arctan(0)=π/4-0=π/4
所以∫..x/sinxdx>=π/4