Question

高中数学函数一道题

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2，且f（x）最小值时-1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称。
（1）求f(x)和g(x)的解析式
（2）若h(x)=f(x)-mg(x)在区间[-1,1]上是增函数，求实数m的取值范围

Answer 1

1）
设二次函数f(x)=ax²+bx+c,将零点0和-2代入可得 c=0 , 4a-2b+c=0 , 又f(x)最小值时-1，即是顶点的最值，其横坐标为两零点的中点 x=-1,
代入可得 a-b+c=-1 , 联立三式可得 a=1 , b=2 , c=0 , 所以
f(x)=x²+2x 下面求g(x):
设f(x)上任意一点为(x,y)，则与该点关于原点对称的点为（-x,-y）,代入f(x)中得 -y=(-x)²+2(-x)=x²-2x , 即 y=-x²+2x
所以 g(x)=-x²+2x
综上f(x)=x²+2x，g(x)=-x²+2x

2）
h(x)=f(x)-mg（x)=(1+m)x^2+2(1-m)x在区间[-1,1]上是增函数
而h(x)的函数对称轴为x=(m-1)/(1+m)
所以若1+m>0,则（m-1)/(1+m)<=-1，得-1<m<=0
若1+m<0,则（m-1)/(1+m)>=1，得入<-1
若1+m=0,即m=-1,h(x)=4x,符合题意

综上所述得 m<=0

Answer 2

f（x）有两个零点，则f（x）=ax（x+2）=a（x+1）^2-a

且f（x）最小值时-1,所以a=1

所以f（x）=x（x+2）

函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称，则g（x）=-f（-x）=x（2-x）

2）、h（x）=f(x)-mg(x)=x（x+2）-mx（2-x）

=（1+m）x^2+(2-2m)x

=（1+m）〔（x-（m-1）/（m+1）〕^2-(m-1)^2/(m+1)

区间[-1,1]上是增函数

则，

A、m>-1时，对称轴x=（m-1）/（m+1）≤-1，得-1<m≤0

B、m=-1时，h（x）=4x则在〔-1，1〕是增函数

C、m<-1时，对称轴x=（m-1）/（m+1）≥1，得m<-1

所以m满足条件的取值范围是（-∞，0〕