Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线

上已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠DEF=90°，∠DEF=45°，∠BAC=30°，BC=6，EF=12，如图2，△DEF从图1出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动；此时DE与AC交于点Q，连接PQ，当△DEF的顶点D移动到AC边上时点P停止移动，△DEF也随之停止移动．设移动时间为t（s）
问题：
1.当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
2.当t为何值时，△APQ为直角三角形？
3.连接PE，当四边形APEC的面积最小时，求PE的长。

Answer 1

（1）要使点A在线段PQ的垂直平分线上，则要AP=AQ。
　　由题意可知：AP=2t，EC=t，又∠DEF=45°，CQ=EC，所以得出AQ=AC-CQ=8-t
　　即2t=8-t，得出t=8/3。
　　（2）四边形APEC的面积为y等于直角△ABC的面积减去△PBE的面积。
　　在△PBE中，BE=BC-CE=6-t，在直角△ABC中，根据勾股定理得出AB=10，
　　所以PB=AB-AP=10-2t，过点P向BE做垂线交BE于G，则△PBE的高为PG，根据三角形相似：PB/AB=PG/AC,所以PG=PB*AC/AB=8-1.6t，故△PBE的面积为BE*PG/2；直角三角形ABC的面积=6*8/2=24，y=24- BE*PG/2=24-（6-t）*（8-1.6t）/2=8.8t-0.8t^2
　　(3)假设P、Q、F三点在同一条直线上，则直角△FCQ与直角△FPG相似，CQ/PG=FC/FG其中FG=FB-BG，FB=BC+EF-t=16-t，BG/PG=BC/AC=6/8,BG=6-1.2t
　　故FG=FB-BG=10+0.2t；FC=EF-EC=10-t，t/(8-1.6t)=(10-t)/(10+0.2t)
　　得出1.4t^2-34t+80=0, t≈2.64
　　

 

 

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