Question

如图，点EFGH分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点位于何处时，正方形

如图，点EFGH分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点位于何处时，正方形EFGH面积最小

Answer 1

在四边中点是最小！

假设AB长为2X，E与中点距离为Y => AE = X - Y，BE = X + Y
则四个三角形的大小为 4 * (X - Y) * (X + Y) / 2 = 2(X² - Y²)

四边形EFGH面积最小，则四个三角形的面积要在最大的时候，2(X² - Y²)的最大值在 Y = 0。
因此，EFGH在ABCD四边中点时，面积是最小

Answer 2

欲正方形EFGH面积最小，
须4个直角三角形的面积之和最大。
不难证明4个直角三角形全等，
不妨设正方形ABCD的边长为1，直角三角形的短直角边为a，
则长直角边为1－a，
4个直角三角形的面积之和
S＝4×1／2×﹙1－a﹚·a
即S＝﹣2a²＋2a，
＝﹣2﹙a－1／2﹚²＋1／2
因此当a＝1／2时
4个直角三角形的面积之和最大，
即当E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点时，
正方形EFGH面积最小。