Question

设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合：①方程 有实数根；②函数 的导数 (满足 ”(I )若函数

设M是由满足下列条件的函数f(X)构成的集合：①方程 有实数根；②函数 的导数 (满足 ”(I )若函数 为集合M中的任一元素，试证明万程 只有一个实根 ； (II) 判断函^ 是否是集合M中的元素，并说明理由；(III) “对于（II)中函数 定义域内的任一区间 ，都存在 ，使得 ”，请利用函数 的图象说明这一结论.

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Answer 1

（Ⅰ）令 ，则 ，即 在区间 上单调递减 所以，使 ，即 成立的 至多有一解，┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 又由题设①知方程 有实数根， 所以，方程 只有一个实数根；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）由题意易知， ，满足条件②┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 令 ， 则 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 又 在区间 上连续，所以 在 上存在零点 ， 即方程 有实数根 ，故 满足条件①， 综上可知， ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知： ， 而 ， 所以原式等价于 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 该等式说明函数 上任意两点 和 的连线段  （如图所示），在曲线 上都一定存在一点 ，使得该点 处的切线平行于 ，根据 图象知该等式一定成立.

略