Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明：面AED⊥面A1FD1．

Answer 1

（1）∵AC₁是正方体
∴AD⊥面DC₁，
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F
（2）取AB中点G，连接A₁G，FG，
∵F是CD中点
∴GF

∥ .

.

AD又A1D1

∥ .

.

AD
∴GF

∥ .

.

A1D1∴GFD1A1是平行四边形∴A1G∥D1F设A1G∩AE＝H
则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角
∵E是BB₁的中点∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE
∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直线AE与D₁F所成角是直角
（3）∵AD⊥D₁F（（1）中已证）
AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，又∵D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁