Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2（1）求证：AC∥平面

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2（1）求证：AC∥平面BEF；（2）求点D到平面BEF的距离；（3）求平面BEF与平面ABCD所成的正切值．

Answer 1

（1）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
∴OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
（2）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，
∠ADE=90°，
∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），
∴

BE

＝(?2，?2，2)，

BF

＝(0，?2，1)，

BD

＝(?2，?2，0)，
设平面BEF的法向量

n

＝(x，y，z)，则

n

?

BE

=0，

n

?

BF

=0，
∴