Question

计算闭曲面∑∫∫上积分xyzdS,其中∑是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面

封闭∑∫∫xyzdS=∑1∫∫xyzdS+∑2∫∫xyzdS+∑3∫∫xyzdS+∑4∫∫xyzdS,由于在∑1，∑2，∑3上，被积函数f(x,y,z)=xyz均为0，所以∑1∫∫xyzdS=∑2∫∫xyzdS=∑3∫∫xyzdS=0，是怎么得到的？
∑1，∑2，∑3上投影角度为90度，ds=dΔ/cosr,cosr=1/根号下1+(f偏x)^2+(f偏y)^2,当r为90度时，切线与z轴平行。ΔOAB=∑1，投影在xoy面上不是一个面积而是条线，所以面积为0，可以这么理解吗？

Answer 1

在∑1 ∑2 ∑3上，分别满足x=0, y=0, z=0

所以xyz=0

所以∫∫xyzdS=∫∫0dS=0

原积分=[∫(0->1) xdx] *[∫(0->x) y^2dy] *[∫(0->xy) z^3dz]=1/364

在几何上

与环面（#T）的连接加上一个手柄，两端连接在表面的同一侧，而与克莱恩瓶（#K）的连接加上手柄，两端连接到相对侧的可定向表面；在投影平面（#P）的存在下，表面不可取向（没有侧面概念），所以在连接环和连接克莱因瓶之间没有区别，这说明了关系。

Answer 2

在∑1 ∑2 ∑3上，分别满足x=0, y=0, z=0
所以xyz=0
所以∫∫xyzdS=∫∫0dS=0
这挺好理解哦

Answer 3