Question

（2004?泰安）已知：如图，⊙P与⊙O相交于点A、B，且⊙P经过点O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点（不与点A、

（2004?泰安）已知：如图，⊙P与⊙O相交于点A、B，且⊙P经过点O，点C是⊙P的优弧AB上任意一点（不与点A、B重合），弦OC交公共弦AB于点D，连接CA、CB．（1）求证：CD?CO=CA?CB；（2）当点C在⊙P上何位置时，直线CA与⊙O相切？并说明理由；（3）当∠ACB等于60°时，两圆半径有什么关系？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：在⊙O中，∵AO=BO，
∴

AO

=

BO

，
∴∠ACO=∠DCB，
又∵∠1=∠2，
∴△ACO∽△DCB，
∴

AC

DC

=

CO

CB

，
∴CD?CO=CA?CB；

（2）解：连接OP，并延长与⊙P交于点E．
若点C在点E位置时，直线CA与⊙O相切，
理由：连接AE，
∵EO是⊙P的直径，
∴∠EAO=90°，
∴OA⊥EA，
∴EA与⊙O相切，
即点C在点E位置时，直线CA与⊙O相切．

（3）当∠ACB=60°时，两圆半径相等．理由：
解：作直径OE，连接BE，AE，OA，
∵∠AEB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴

AO

=

BO

，
∴∠AEO=∠BEO，
∴∠AEO=30°，
∵OE是直径，
∴∠EAO=90°，
∴OA=

1

2

OE，
∴OA=PO，
∴当∠ACB=60°时，两圆半径相等．