Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxc

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx的值．（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大、最小值．

Answer 1

（I）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=

1

3

∴

1+sin2x

cos2x?sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x?sinxcosx

=

2tan2x+1

1?tanx

=

11

6

；
（II）由（I）得代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
∴F（x）=cos2x+sin2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

?x=kπ+

π

8

（k∈Z）时，[F（x）]max=

2

+1
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

?x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，[F（x）]max=-

2

+1