Question

证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数

证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．

Answer 1

证明：假设a、b、c全为奇数△=b²-4ac＞=0有：
x=

?b± b2?4ac

2a

，
可见存在有理根，即设

b24ac

为有理数n，
∴b²-4ac=n²，
（b-n）（b+n）=4ac，
∵若n为偶数，（b-n）（b+n）=奇数×奇数=奇数≠4ac，
∴n只能为奇数，b-n为偶数b+n为偶数，
（b-n）（b+n）=偶数×偶数=2a×2c （a＜=c），
b-n=2a，b+n=2c，
解得：b=a+c，
此时b=奇数+奇数=偶数  与原假设矛盾，
原假设不成立．
∴如果整系数二次方程ax²+bx+c=0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数得证明．