Question

求证：（1）已知a，b，c＞0，求证：a2b2+b2c2+c2a 2a+b+c≥abc（2）对于任何实数a，b，三个数|a+b|，|a-b

求证：（1）已知a，b，c＞0，求证：a2b2+b2c2+c2a 2a+b+c≥abc（2）对于任何实数a，b，三个数|a+b|，|a-b|，|1-a|中至少有一个不小于12．

Answer 1

证明：（1）∵b²+c²≥2bc，a²＞0，
∴a²（b²+c²）≥2a²bc．①
∵a²+c²≥2ac，b²＞0，
∴b²（a²+c²）≥2ab²c．②
∵b²+a²≥2ba，c²＞0，
∴c²（b²+a²）≥2abc²．③
①②③相加得  2（a²b²+b²c²+c²a²）≥2a²bc+2b²ac+2c²ab，
从而      a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）．
由a，b，c＞0，得a+b+c＞0，于是

1

a+b+c

＞0，
由不等式的基本性质得

a2b2+b2c2+c2a 2

a+b+c

≥abc．
（2）（反证法）若|a+b|＜

1

2

，|a?b|＜

1

2

，|1?a|＜

1

2

，
则?

1

2

＜a+b＜

1

2

，（1）
?

1

2

＜a?b＜

1

2

，（2）
?

1

2

＜1?a＜

1

2

，（3）
由（1）+（2）得?

1

2

＜a＜

1

2

，
由（3）得

1

2

＜a＜

3

2

，矛盾．