Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f（x）≤18（x+2）2成立．（1）f（2）；（2）若f（-2）=0，求函数f（x）的表达式．（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式（4kx-1）2＜kx2的解集中整数恰好有2个，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）≥x，可得f（2）≥2；
又当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

（x+2）²成立，可得f（2）=4a+2b+c≤

1

8

（4+2）²=2成立．
故有f（2）=2．
（2）若f（-2）=0，则由

4a+2b+c＝2 4a?2b+c＝0

 可得b=

1

2

，c=1-4a．
再由f（x）≥x恒成立可得ax²-

1

2

x+c≥0恒成立，∴a＞0，△=(

1

2

?1)2-4a（1-4a）≤0．
解得 a=

1

8

，b=c=

1

2

，f（x）=

1

8

x²+

1

2

x+

1

2

．
（3）在（2）的条件下，关于x的不等式（4kx-1）²＜kx² 等价于（4-k）x²-4x+1＜0，
它的解集中整数恰好有2个，
∴判别式△′=4k＞0，且 4-k＜0，解得 0＜k＜4．
又原不等式的解集为（

1

2+ k

，

1

2? k

），且

1

4

＜

1

2? k

＜

1

2

，则1、2一定是所求的整数解，
∴2＜

1

2? k

≤3，求得

9

4

＜k≤

25

9

，故k的范围是（

9

4

，

25

9

]．