Question

已知双曲线C的中心为原点，点 F( 2 ，0) 是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足

已知双曲线C的中心为原点，点 F( 2 ，0) 是双曲线C的一个焦点，过点F作渐近线的垂线l，垂足为M，直线l交y轴于点E，若 FM = ME ，则C的方程为______．

Answer 1

设双曲线C的为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ，a＞0，b＞0． 渐近线方程是y=± b a x 右焦点的坐标是（ 3 ，0） 现在假设由右焦点向一、三象限的渐近线引垂线 所以取方程y= b a x ∵EF垂直于渐近线， ∴直线EF的斜率是- a b ， 该直线的方程是y=- a b （x- 2 ） 当x=0时，y= 2 a b ， ∴E点的坐标（0， 2 a b ） ∵ FM = ME ， ∴M的坐标（ 2 2 ， 2 a 2b ） ∵点M在渐近线上，∴ 2 a 2b = 2 2 ? b a ， 整理得：b 2 =a 2 ， ∵c= 2 ，∴b 2 =a 2 =1． ∴双曲线方程为x 2 -y 2 =1． 故答案为：x 2 -y 2 =1．