如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE． （1）图1
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找...
如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE． （1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）求证：BE=EC； （3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．
展开
1个回答
展开全部
（1）∠DCA=∠BDE．
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，
则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG．
∴DG=AB．
∴DA=BG．
∵AF∥EG，DF=EF，
∴DA=AG．
∴AG=BG．
∵EG∥AC，
∴BE=EC．
（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，
∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA．
∵AC∥EG，
∴∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG
∴DG=AB=1．
∵AF∥EG，
∴△ADF∽△GDE．
∴
＝
．
∵DF=kFE，
∴DE=EF-DF=（1-k）EF．
∴
＝
．
∴AD=
．
∴GE=AD=
．
过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH．
∴BC=2BH．
∵AB=1，∠ABC=α，
∴BH=AB?cos∠ABH=cosα．
∴BC=2cosα．
∵AC∥EG，
∴△ABC∽△GBE．
∴
＝
．
∴
＝
．
∴BE=
．
∴BE的长为
证明：∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA．
（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1，
则有∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
|
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG．
∴DG=AB．
∴DA=BG．
∵AF∥EG，DF=EF，
∴DA=AG．
∴AG=BG．
∵EG∥AC，
∴BE=EC．
（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2，
∵AB=AC，DC=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．
∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA．
∵AC∥EG，
∴∠DAC=∠DGE．
在△DCA和△EDG中，
|
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA=EG，CA=DG
∴DG=AB=1．
∵AF∥EG，
∴△ADF∽△GDE．
∴
| AD |
| DG |
| DF |
| DE |
∵DF=kFE，
∴DE=EF-DF=（1-k）EF．
∴
| AD |
| 1 |
| kEF |
| (1?k)EF |
∴AD=
| k |
| 1?k |
∴GE=AD=
| k |
| 1?k |
过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH．
∴BC=2BH．
∵AB=1，∠ABC=α，
∴BH=AB?cos∠ABH=cosα．
∴BC=2cosα．
∵AC∥EG，
∴△ABC∽△GBE．
∴
| BC |
| BE |
| AC |
| GE |
∴
| 2cosα |
| BE |
| 1 | ||
|
∴BE=
| 2kcosα |
| 1?k |
∴BE的长为
