Question

已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2 2 ，0）在x

已知：如图，⊙P与x轴相切于坐标原点O，点A（0，2）是⊙P与y轴的交点，点B（-2 2 ，0）在x 轴上．连接BP交⊙P于点C，连接AC并延长交x轴于点D．（1）求线段BC的长；（2）求直线AC的关系式；（3）当点B在x轴上移动时，是否存在点B，使△BOP相似于△AOD？若存在，求出符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） 法一：由题意，得OP=1，BO=2 2 ，CP=1． 在Rt△BOP中 ∵BP 2 =OP 2 +BO 2 ， ∴（BC+1） 2 =1 2 +（2 2 ） 2 ， ∴BC=2． 法二：延长BP交⊙P于G，如图所示，由题意，得OB=2 2 ，CG=2， ∵OB 2 =BC?BG， ∴（2 2 ） 2 =BC?（BC+2）， BC=2． （2）如图所示，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F． 在△PBO中， ∵CF ∥ BO， ∴ CF BO = PC PB ． 即 CF 2 2 = 1 3 ， 解得CF= 2 2 3 ． 同理可求得CE= 2 3 ． 因此C（- 2 2 3 ， 2 3 ）． 设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）． 把A（0，2），C（- 2 2 3 ， 2 3 ）两点代入关系式，得 b=2 - 2 2 3 k+b= 2 3 ， 解得 b=2 k= 2 ． ∴所求函数关系式为y= 2 x+2． （3）如图所示，在x轴上存在点B，使△BOP与△AOD相似． ∵∠OPB＞∠OAD， ∴∠OPB≠∠OAD． 故若要△BOP与△AOD相似， 则∠OBP=∠OAD． 又∠OPB=2∠OAD， ∴∠OPB=2∠OBP． ∵∠OPB+∠OBP=90°， ∴3∠OBP=90°， ∴∠OBP=30°． 因此OB=cot30°?OP= 3 ． ∴B 1 点坐标为（- 3 ，0）． 根据对称性可求得符合条件的B 2 坐标（ 3 ，0）． 综上，符合条件的B点坐标有两个： B 1 （- 3 ，0），B 2 （ 3 ，0）．