Question

如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，则不难证明S

如图Ⅰ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，则不难证明S 1 =S 2 +S 3 ． （1）如图Ⅱ，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，设BC=a，AC=b，AB=c，证明：S 1 =S 2 +S 3 ．（2）如图Ⅲ，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，请你确定S 1 、S 2 、S 3 之间的关系．（不必证明）（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，请你猜想S 1 、S 2 、S 3 之间的关系？．（不必证明）

Answer 1

（1）∵S 3 = π 8 AC 2 ，S 2 = π 8 BC 2 ，S 1 = π 8 AB 2 ， ∴ π 8 AC 2 + π 8 BC 2 = π 8 AB 2 ， 即 π 8 b 2 + π 8 a 2 = π 8 c 2 ， 在Rt△ABC中， ∵b 2 +a 2 =c 2 ， ∴S 2 +S 3 =S 1 ． （2）S 1 =S 2 +S 3 ． 理由：由题意可得出：S 1 = 3 4 AB 2 ，S 2 = 3 4 BC 2 ，S 3 = 3 4 AC 2 ， ∴则S 1 = 3 4 c2，S 2 = 3 4 a2，S 3 = 3 4 b2 ∴S 2 +S 3 = 3 4 （a2+b2）= 3 4 c2=S 1 ， 即S 1 =S 2 +S 3 ． （3）由（1）（2）可得出：S 1 =S 2 +S 3 ．