如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=2.(Ⅰ)求证
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=2.(Ⅰ)求证:PA1⊥BC;(Ⅱ)求证:PB1∥...
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,AB=2,AA1=1,D是BC的中点,点P在平面BCC1B1内,PB1=PC1=2.(Ⅰ)求证:PA1⊥BC;(Ⅱ)求证:PB1∥平面AC1D;(Ⅲ)求VA1-ADC1.
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(I)证明:取B1C1的中点Q,连接A1Q,PQ.
∵A1B1=A1C1,PB1=PC1,∴A1Q⊥B1C1,PQ⊥B1C1,
又PQ∩A1Q=Q,∴B1C1⊥平面PQA1,
∴BC⊥PA1.
(II)证明:连接BQ,在△PB1C1中,∵PB1=PC1=
,B1C1=2,Q为B1C1的中点,
∴PQ=1,BB1=PQ,BB1∥PQ.
∴四边形BB1PQ为平行四边形.
∴PB1∥BQ.又BQ∥DC1,
∴PB1∥DC1,
∵PB1?平面AC1D,DC1?平面AC1D,
∴PB1∥平面AC1D.
(III)解:作DE⊥AC,则DE⊥平面AA1C1,DE=DC?sin60°=
.
S△AA1C1=
×2×1=1.
∴VA1?AC1D=VD?AA1C1=
×S△AA1C1×DE=
×1×
=
.
∵A1B1=A1C1,PB1=PC1,∴A1Q⊥B1C1,PQ⊥B1C1,
又PQ∩A1Q=Q,∴B1C1⊥平面PQA1,
∴BC⊥PA1.
(II)证明:连接BQ,在△PB1C1中,∵PB1=PC1=
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∴PQ=1,BB1=PQ,BB1∥PQ.
∴四边形BB1PQ为平行四边形.
∴PB1∥BQ.又BQ∥DC1,
∴PB1∥DC1,
∵PB1?平面AC1D,DC1?平面AC1D,
∴PB1∥平面AC1D.
(III)解:作DE⊥AC,则DE⊥平面AA1C1,DE=DC?sin60°=
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S△AA1C1=
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∴VA1?AC1D=VD?AA1C1=
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