Question

如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于一点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB． ⑴求证

如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于一点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB． ⑴求证：BC为⊙O的切线；⑵若 ，AD＝2，求线段BC的长．





Answer 1

（1）证明见解析；（2）

试题分析：（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线． （2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可． 试题解析：（1）证明：连接OE、OC． ∵CB=CE，OB=OE，OC=OC， ∴△OBC≌△OEC． ∴∠OBC=∠OEC． 又∵DE与⊙O相切于点E， ∴∠OEC=90°． ∴∠OBC=90°． ∴BC为⊙O的切线． （2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2 ． ∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B， ∴DA=DE，CE=CB． 设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2． 在Rt△DFC中，（x+2） 2 -（x-2） 2 =（2 ） 2 ，解得x= ． ∴BC= ． 考点: 1.切线的判定与性质；2.勾股定理．