Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。 (1)求证：AC平分∠DAB； (2)

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。 (1)求证：AC平分∠DAB； (2)连接BC，证明∠ACD=∠ABC；(3)若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

试题分析：（1）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以证出结论． （2）连接OC，易得OC∥AD，根据平行线的性质就可以得到∠DAC=∠ACO，再根据OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因为∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，所以∠ACD=∠ABC； （3）在直角△ABC中，利用三角函数求得AC的长，然后在直角△CAD中，利用三角函数即可求得CD的长． 试题解析：连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO； 又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即AC平分∠DAB． （2）∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC=∠ACO； 又∵OA=OC， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°， ∴∠ACD=∠ABC； （3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90° ∴直角△ABC中，AC=AB?sinA=12× = ，∠BAC=30° ∴在直角△CBD中，∠CBD=∠BAC=30°，CD= AC= ． 考点: 1.切线的性质；2. 圆周角定理．