Question

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D． （1）求证：AC平分∠BAD；

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D． （1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=1，AC= ，求⊙O的半径长．

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Answer 1

（1）见解析；（2） .

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD. 过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE= ，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到 ，求出AO= ，即⊙O的半径为 . 试题解析：（1）证明：如图，连接OC， ∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO. ∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD，∴AD∥CO. ∴∠DAC=∠ACO. ∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD. （2）如图，过点O作OE⊥AC于E． 在Rt△ADC中， ， ∵OE⊥AC，∴AE= AC= . ∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°， ∴△AEO∽△ADC. ∴ ，即 ， ∴AO= ，即⊙O的半径为 .