Question

设u（x，y）的所有二阶偏导数都连续，并且?2u?x2??2u?y2=0，现若已知u（x，2x）=x，ux′（x，2x）=x2，试

设u（x，y）的所有二阶偏导数都连续，并且?2u?x2??2u?y2=0，现若已知u（x，2x）=x，ux′（x，2x）=x2，试求uxx（x，2x），uyy（x，2x）．

Answer 1

由对u（x，2x）=x，对x求偏导得
u_x（x，2x）+2u_y（x，2x）=1，
又ux(x，2x)＝x2…（1）
得uy(x，2x)＝

1?x2

2

…（2），
（1）（2）式分别对x求偏导得两式
u_xy（x，2x）+2u_yy（x，2x）=-x…（3）
u_xx（x，2x）+2u_xy（x，2x）=2x…（4）
再和u_xx-u_yy=0联立解得
uxx＝uyy＝?

4

3

xuxy＝

5

3

x

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示