Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．（1）当PA的长度为______时，∠PAB=60°；（2）当PA的长度为______时，△PAD是等腰三角形；（3）过点P作PE⊥PC交射线AB于E，延长BP交射线AD于F，试证明：AE=AF．

Answer 1

（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=

1

2

AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；
故答案是：2；

（2）①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，此时P位于正方形ABCD的中心O．
则PD⊥PA，PD=PA，
∴AD²=PD²+PA²=2PA²=16，
∴PA=2

2

；
②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴AP=

8 5

5

，
∴当PA的长度等于2

2

或

8 5

5

时，△PAD是等腰三角形；
故答案是：2

2

或

8 5

5

；

（3）证明：①如图3，当点