Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于 时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于 时，△PAD是等腰三角形；(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S 1 、S 2 、S 3 ．坐标为（a，b），试求2 S 1 S 3 －S 2 2 的最大值，并求出此时a，b的值．

Answer 1

（1）2， 或 ；（2）当a=2时，b=2，2S 1 S 3 －S 2 2 有最大值是16.

试题分析：（1）因为由是直径，可得∠APB=90°，要使∠PAB=60,即要∠PBA="30" ，即PA= PB=2，当PA=PD、PD=DA时，△PAD是等腰三角形，作辅助线DO AP交PA于G，然后由正方形的性质、勾股定理易知△PAD△DGA，从而用对应边的相似比可得. （2）要求2S 1 S 3 －S 2 2 的最大值，只要先把S 1 、S 2 、S 3 用a，b表示，再根据 得到关系式，从而利用二次函数最大值概念求得. 试题解析：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°， ∵AB是直径， ∴∠APB=90°， 则在Rt△PAB中，PA= AB=2， ∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°； ①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1， 此时P位于正方形ABCD的中心O． 则PD⊥PA，PD=PA， ∴AD 2 =PD 2 +PA 2 =2PA 2 =16， ∴PA=2 ②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2 连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO， ∴DO⊥AP，AG=PG， ∴AP=2AG， 又∵DA=2AO， ∴AG=2OG， 设AG为2x，OG为x， ∴（2x） 2 +x 2 =4， ∴x= ∴AG=2x= ，AP= ∴当PA的长度等于2 或 时，△PAD是等腰三角形. （2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长EP交BC于点G，则PG⊥BC. ∵P点坐标为（a，b）， ∴PE=b，PF=a，PG=4-a 在△PAD、△PAB和△PBC中， ∵AB为直径 ∴∠APB=90° ∴ ，即 ∴ ∴当a=2时，b=2，2S 1 S 3 －S 2 2 有最大值是16. 考点: 圆的综合题．