Question

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）+2，其中a为常数．（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值

已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3）+2，其中a为常数．（1）若x=1是函数y=f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数y=f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=0处取得最大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³-3x²+2，
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一个极值点，
∴f'（1）=0，解得a=2
（2）①当a=0时，
f（x）=-3x²在区间（-1，0）上是增函数
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，f'（x）=3ax（x-

2

a

），令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

，
当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合题意）
当a＜0时，当x∈（

2

a

，2）时，f'（x）＞0，∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合题意），
综上所述，a≥-2．
（3）a＞0，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x+2，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），显然有△=4a²+4＞0．
设方程（*）的两个根为x₁，x₂，由（*）式得 x₁x₂=-

2

a

＜0，不妨设x₁＜0＜x₂．
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
当x₂≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数
所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0处取得最大值
所以g（0）≥g（2）即0≥20a-22，解得a≤

6

5

，又因为a＞0，所以a∈（0，

6

5

]