Question

已知函数f（x）=ax2-4x+c（a，c∈R），满足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．（Ⅰ）

已知函数f（x）=ax2-4x+c（a，c∈R），满足f（2）=9，f（c）＜a，且函数f（x）的值域为[0，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=f(x)+kx?3x（k∈R），对任意x∈[1，2]，存在x0∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x0）求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）根据f（2）=9，可得4a+c=17．
由函数f（x）的值域为[0，+∞）知，方程ax²-4x+c=0，判别式△=0，即 ac=4．
又f（c）＜a，∴ac²-4c+c＜a，即c＜a，
解得：a=4，c=1，∴f（x）=4x²-4x+1． 
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，f（x）∈[0，9]，
对任意x∈[1，2]，存在x₀∈[-1，1]，使得g（x）＜f（x₀），
即g（x）=

4x2?4x+1+kx?3

x

＜9，即4x²+（k-13）x-2＜0对任意x∈[1，2]恒成立．
设h（x）=4x²+（k-13）x-2，则

h(1)＜0 h(2)＜0

，即

k＜11 k＜6

，解得k＜6．
∴k的取值范围是（-∞，6）