Question

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，一个垂直斜面向上，另一个

如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场，一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，磁场宽度ef与fg均为L．一个质量为m，边长为L的正方形线框abcd以速度v进入上边磁场时，恰好开始做匀速运动．（1）当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小和方向如何？（2）已知当ab边到达gg′与ff′正中间位置时，线框又恰好开始做匀速运动，求线框从开始进入磁场区域到ab边到达gg′与ff′正中间位置过程中，产生的焦耳热是多少？

Answer 1

（1）：ab边产生的感应电动势为E=BLv，通过线框的电流为：I=

E

R

，
设线框匀速运动是的速度为v，应有：mgsinθ=BIL，
整理可得：mgsinθ=

B 2   L 2   v

R

…①
当ab边刚越过f

f

′

时，线框产生的电动势为

E

总

=2BLv，通过线框的电流为

I

′

=

.

R

=

2BLv

R

，与线框匀速运动时电流比较可得

I

′

=2I，
线框受到的合力大小为：

F

合

=2B

I

′

L-mgsinθ=4BIL-mgsinθ…②
根据牛顿第二定律，线框的加速度为：a=

F   合

m

…③
联立①②③可得a=3gsinθ，方向沿斜面向上；
（2）：设线框再做匀速运动时的速度为

v

′

，则ab边和cd边产生的电动势均为：E=BL

v

′

…⑤
则线框中产生的电流为：

I

′

=

2B Lv ′

R

…⑥
由平衡条件应有：mgsinθ=2B

I

′

L…⑦
联立①⑤⑥⑦可得：

v

′

=

mgRsinθ

4B 2   L 2

=

v

4

…⑧
对线框从开始进入磁场区域到ab边到达gg′与ff′正中间位置过程中，由能量守恒定律应有：
mg（L+

L

2

）sinθ=Q+

1

2

mv

′ 2

?

1

2

mv

2

…⑨
联立①⑧⑨解得：Q=

3

2

mgLsinθ+

15

32

mv

2

；
答：（1）当ab边刚越过ff′时，线框加速度的大小为a=3gsinθ，方向沿斜面向上．
（2）线框从开始进入磁场区域到ab边到达gg′与ff′正中间位置过程中，产生的焦耳热是Q=

3

2

mgLsinθ+

15

32

mv

2