Question

给定函数f（x）=loga|logax|（a＞0，a≠1）．（1）当f（x）＞0时，求x的取值范围；（2）当0＜a＜1，x＞1

给定函数f（x）=loga|logax|（a＞0，a≠1）．（1）当f（x）＞0时，求x的取值范围；（2）当0＜a＜1，x＞1时，判断f（x）的单调性并予以证明．

Answer 1

（1）0＜a＜1时，由f（x）＞0?0＜|log_ax|＜1?0＜log_ax＜1或-1＜log_ax＜0，
∴a＜x＜1或1＜x＜

1

a

．
a＞1时，由f（x）＞0?|log_ax|＞1?log_ax＞1或log_ax＜-1，
∴x＞a或0＜x＜

1

a

．
（2）当0＜a＜1，x＞1时，f（x）单调递减．证明如下：
设1＜x₁＜x₂，f(x1)?f(x2)＝loga(?logax1)?loga(?logax2)＝loga

logax1

logax2

＝logalogx2x1，
由于1＜x₁＜x₂，
所以0＜logx2x1＜logx2x2＝1，又0＜a＜1，故logalogx2x1＞0．
∴f（x）单调递减．